W.G. LEIBNIZ (1646-1716)

• SUMAS Y DIFERENCIAS

Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los números triangulares

 Leibniz observó que cada término se puede descomponer como

leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de números.

d₁, d₂, ... , d_n , donde

d_i=a_i-a_i-1  . Entonces

d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0

es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original.

   Por ejemplo, dada la sucesión de cuadrados

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., n2

sus primeras diferencias son

1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 2n-1

ya que i²-(i-1)²=2i-1. Luego se sigue que la suma de los n primeros números impares es n²

1+3+5++ (2n-1)=n2

Leibniz utiliza este método en otros casos. Por ejemplo en relación a la serie geométrica

1,q,q2, ... ,qn, ..

• EL CALCULO DE LEIBNIZ

Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos
inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1,y2,y3,?,yn


  Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y₁+y₂+y₃+ +y_n es una aproximación de la cuadratura de
la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y_i¢s da aproximadamente la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequeña
sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequeña, entonces las aproximaciones
serían exactas, la cuadratura sería igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de ordenadas. De
esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes
son operaciones inversas la una de la otra.
    Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas,
dx la diferencia de dos abscisas consecutivas e ydx representa la sumade los pequeños rectángulos infinitesimales ydx.
    De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el área debajo de una curva con ordenadas y,
debemos hallar una curva de ordenadas z de tal manera que  dz/dx=y, en cuyo caso es también ydx=z.
    En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe

omn·l = y

donde omn es omnia, que en latín significa suma, y donde l son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cáalculo y la expresión
simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al último término.
    Después iría cambiando su notación y escribe la anterior relación comody=y que es la que usamos actualmente. El signo integral  no
es más que una S elongada que significa suma.
    La idea de su cálculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del
cálculo de diferencias

• El Problema de  De Beaune

El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a.


    De la relación

dx dy =  s y

obtenemos tomando s=a

a   dy=y   dx

    Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética. Tomando k=b/a, la relación anterior da

dy=k   y

    Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y.
    Más concretamente, si tomamos la sucesión de abscisas

x0=x, x1=x+b, x2=x+2b, x3=x+3b , ...

que están en progresión aritmética, al ser dy₁=y₁-y₀=k y₁, será y₁=k₁ y₀ para la constante k₁=1/(k+1). Luego las correspondientes ordenadas

y0, y1=k1 y0, y2=k12 y0,y3=k13 y0, ...

están en progresión geométrica.
    Leibniz concluye diciendo que la curva es una  "logarítmica".

• Desarrollo del seno a partir de su ecuación diferencial

Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece
el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

    Por semejanza de triángulos

    Además por el teorema de Pitágoras dx²+dy²=d q². Elevando al cuadrado la primera relación, despejando dx² y sustituyendo en la
segunda obtenemos después de simplificar

dy2+y2 dq2=d q2

que es la ecuación diferencial que verifica y=sinq. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dq como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene d[dy²+y² dq²]=0, de donde por la regla del producto

d[dy·dy+y2 dq2]=2(dy)(d   dy)+2y dy dq2=0

esto es

d2y d q2 =-y

que es la ecuación diferencial de segundo orden de y=sinq. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados

y=sinq = b q+cq3+e q5+f q7+gq9+

donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin0=0 y sólo toma potencias impares al ser sinq impar. Diferenciando dos veces
esta expresión se obtiene

d2y dq2 =2·3 c q+4·5 e q3+8·9 g q7+

que debe ser igual a -y=-b q-c q³-e q⁵-f q⁷-gq⁹-  Igualando coeficientes se obtiene