ISAAC NEWTON (1642-1727)

• El Teorema del Binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:

y así sucesivamente de esta forma queda:

• De Analysi.

Esta monografía circular de 1669 que mandó Newton a sus amigos y que fue publicado mucho después en latín en 1711 contiene ya las ideas esenciales del cálculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas tal como se ve en en la imagen de la primera página de esta publicación.

REGULAI.           Si       ax m/n=y;           Erit  an m+n x(m+n)/n=Areae   ABD.

Mas tarde en el mismo tratado da un procedimiento para hallar la ordenada de una curva cuadratura ABD esta dada. El proceso es interesante ya que de alguna forma el comienzo del calculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la diferenciacion y la integracion. La explica como un ejemplo, aunque es claramente generalizable.

• Descubrimiento de las series de sin x y cos x

A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura

sustituyendo y después de simplificar queda

q = x+  1 6 x3+  3 40 x5+  5 112 x7+

Inviertiendo ahora la serie Newton obtiene

x=sinq = q-  1 6 q3+  1 120 q5-  1 5040 q7+

Encuentra luego la serie de cosq como

y calcula las cuadraturas de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuación x=y coty primero invirtiendo esta ecuación para encontrar la
serie de y=y(x) y luego integrando término a término.

• El metodo de fluxiones 

Newton da luego otra versión de su cálculo en "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum" que fue escrito en 1671 y publicado en 1736. Wallis, con permiso de Newton, incluyó el método de fluxiones en la páginas 390-396 de su Algebra.Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades que aparecen (variable) x es un "fluente" y su velocidad, designada por , esto es una x con un puntito encima, es una  "fluxión".

La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad de tiempo o, es o el momento del fluente. El problema fundamental es, dada una relación entre fluentes hallar la relación entre sus fluxiones y recíprocamente. Si y=f(x) en un pequeño intervalo o de tiempo x se incrementa a x+o, y se incrementa

Luego elimina los términos que contienen o,  ya que  "se le supone infinitamente pequeño", quedando

. y =3x2

y por tanto, la relación entre fluxiones es

. y =3x2

    De esta forma su afirmación inicial del párrafo anterior de que el área

y=  xn+1 n+1

proviene de la curva y=xⁿ es que el cociente de fluxiones

. y =xn

considerando luego que la fluxión de x es uno, es decir, que el incremento que considera en x por unidad de tiempo es uno.

 Aplica también su método al caso de tener dada una curva en la forma f(x,y)=0. Por ejemplo considera el caso de la cúbica

x3-ax2+axy-y3=0

Sustituye x por x+o e y por y+o, realiza el desarrollo, resta la relación x³-ax²+axy-y³=0, cancela los términos con o² y o³ por ser despreciables frente a o, y divide ahora por o para obtener

3x2 -2a x  +ay  +ax . y -3y2 . y =0

de donde obtiene la relación de fluxiones

. y =  3x2-2ax+ay 3y2-ax

 Newton es consciente de las dificultades de rigor que tienen estos conceptos y posteriormente refina su interpretación en "De Quadratura Curvarum" , escrito en 1676 y publicado en 1704. Aquí habla de  "últimas proporciones" ( "ultimate ratios" ). Dice: "Por última proporción de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, pero tal como van desvaneciendo."

Intuitivamente, esto viene a ser nuestro concepto de derivada interpretada como límite

f¢(x)= lim h®0  f(x+h)-f(x) h             Calculo De Newton del numero p

valor que aquí hemos calculado correcto hasta cuatro decimales (el error es 1.33 x10^-5). Newton de hecho usa 20 términos del binomio para llegar a calcular p con 16 decimales correctos.

 Luego dice  "I am ashamed to tell you how many figures I carried these calculations, having no other business at the time" (Me avergüenzo de decirle cuantas cifras he calculado, no teniendo nada más que hacer en aquél momento). A pesar de sus afirmaciones, este es un nuevo paso de gigante en elcálculo del número.