CALCULO DIFERENCIAL EN LA VIDA COTIADIANA

EJEMPLO 1

JESUS EMPEZO UN ANALISIS DE CUANTO GASTABA EN LA SEMANA EN GASOLINA, ASI QUE EMPEZO UN DIA LUNES, SIEMPRE VISITANDO LOS MISMOS LUGARES CASA-ESCUELA

LUNES GASTO $ 43
MARTES GASTO $ 45
MIÉRCOLES GASTO $41
JUEVES GASTO $ 36
VIERNES GASTO $ 36
SÁBADO GASTO $ 46
DOMINGO GASTO $ 51

EN ESTE EJEMPLO, PODEMOS VER, COMO LOS CÁLCULOS DE LOS GASTOS DE JESUS SON DIFERENTES Y VARIABLES, AQUÍ UN CLARO EJEMPLO DE LA ECONOMÍA 

EJEMPLO 2

APLICANDO EL CALCULO EN CALCULO: LUIS QUIERE SABER HASTA DONDE PUEDE LLEGAR UN AUTOMOVIL A UNA SIERTA VELOCIDAD TOMANDO EN CUENTA CUANTA GASOLINA GASTA POR KILOMETRO Y CUENTA GASOLINA GASTA PARA LLEGAR A SU DESTINO EN UNA VELOCIDAD FIJA

EN ESTE EJEMPLO PODEMOS OBSERVAR COMO LOS CALCULOS INFLUYEN EN UN SIMPLE RECORRIDO DE AUTOMOVILES 

EJEMPLO 3

EL CALCULO DIFERENCIAL TAMBIÉN PODEMOS VER SU APLICACIÓN EN LO SIGUIENTE:

CUANDO VENIMOS A LA PREPARATORIA COBACH POR EJEMPLO QUE OCUPAMOS CALCULAR EL MAXIMO DE TIEMPO EN EL RECORRIDO A LLEGAR Y EL MINIMO DE TIEMPO ESTO GENERA EL CALCULO DEL TIEMPO PARA GENERAL LA OPORTUNIDAD DE LLEGADA A LA PREPARATORIA 

IMPORTANCIA DEL CALCULO

La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Solamente pensemos un cuantas veces en el día hacemos distintos tipo de cálculos o ha lo largo de nuestra vida hemos ocupado de cálculos. Imaginemos un mundo en el que no exista la matemáticas, no podríamos hacer, pedir absolutamente nada, todo está gracias a ella, desde la compra de un kilo de frijoles, en donde se han hecho cálculos para la compra, la venta. Hasta cuando decís faltan 5 minutos para las doce, o me compré medio metro de tela a $ 4, 20 ,o voy a trabajar ocho días haciendo 5 horas diarias, o ya leí 57 hojas del libro y me faltan 38 , o quiero repartir 50 caramelos entre 12 chicos , o faltan tres meses para que nazca el bebé ,en todos estos casos simples estás haciendo cálculos. Los cálculos matemáticos están presentes en cada momento de nuestra vida y es son de gran importancia 

W.G. LEIBNIZ (1646-1716)

• SUMAS Y DIFERENCIAS

Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los números triangulares

 Leibniz observó que cada término se puede descomponer como

leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de números.

d₁, d₂, ... , d_n , donde

d_i=a_i-a_i-1  . Entonces

d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0

es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original.

   Por ejemplo, dada la sucesión de cuadrados

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., n2

sus primeras diferencias son

1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 2n-1

ya que i²-(i-1)²=2i-1. Luego se sigue que la suma de los n primeros números impares es n²

1+3+5++ (2n-1)=n2

Leibniz utiliza este método en otros casos. Por ejemplo en relación a la serie geométrica

1,q,q2, ... ,qn, ..

• EL CALCULO DE LEIBNIZ

Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos
inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1,y2,y3,?,yn


  Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y₁+y₂+y₃+ +y_n es una aproximación de la cuadratura de
la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y_i¢s da aproximadamente la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequeña
sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequeña, entonces las aproximaciones
serían exactas, la cuadratura sería igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de ordenadas. De
esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes
son operaciones inversas la una de la otra.
    Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas,
dx la diferencia de dos abscisas consecutivas e ydx representa la sumade los pequeños rectángulos infinitesimales ydx.
    De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el área debajo de una curva con ordenadas y,
debemos hallar una curva de ordenadas z de tal manera que  dz/dx=y, en cuyo caso es también ydx=z.
    En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe

omn·l = y

donde omn es omnia, que en latín significa suma, y donde l son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cáalculo y la expresión
simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al último término.
    Después iría cambiando su notación y escribe la anterior relación comody=y que es la que usamos actualmente. El signo integral  no
es más que una S elongada que significa suma.
    La idea de su cálculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del
cálculo de diferencias

• El Problema de  De Beaune

El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a.


    De la relación

dx dy =  s y

obtenemos tomando s=a

a   dy=y   dx

    Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética. Tomando k=b/a, la relación anterior da

dy=k   y

    Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y.
    Más concretamente, si tomamos la sucesión de abscisas

x0=x, x1=x+b, x2=x+2b, x3=x+3b , ...

que están en progresión aritmética, al ser dy₁=y₁-y₀=k y₁, será y₁=k₁ y₀ para la constante k₁=1/(k+1). Luego las correspondientes ordenadas

y0, y1=k1 y0, y2=k12 y0,y3=k13 y0, ...

están en progresión geométrica.
    Leibniz concluye diciendo que la curva es una  "logarítmica".

• Desarrollo del seno a partir de su ecuación diferencial

Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece
el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

    Por semejanza de triángulos

    Además por el teorema de Pitágoras dx²+dy²=d q². Elevando al cuadrado la primera relación, despejando dx² y sustituyendo en la
segunda obtenemos después de simplificar

dy2+y2 dq2=d q2

que es la ecuación diferencial que verifica y=sinq. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dq como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene d[dy²+y² dq²]=0, de donde por la regla del producto

d[dy·dy+y2 dq2]=2(dy)(d   dy)+2y dy dq2=0

esto es

d2y d q2 =-y

que es la ecuación diferencial de segundo orden de y=sinq. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados

y=sinq = b q+cq3+e q5+f q7+gq9+

donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin0=0 y sólo toma potencias impares al ser sinq impar. Diferenciando dos veces
esta expresión se obtiene

d2y dq2 =2·3 c q+4·5 e q3+8·9 g q7+

que debe ser igual a -y=-b q-c q³-e q⁵-f q⁷-gq⁹-  Igualando coeficientes se obtiene

ISAAC NEWTON (1642-1727)

• El Teorema del Binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:

y así sucesivamente de esta forma queda:

• De Analysi.

Esta monografía circular de 1669 que mandó Newton a sus amigos y que fue publicado mucho después en latín en 1711 contiene ya las ideas esenciales del cálculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas tal como se ve en en la imagen de la primera página de esta publicación.

REGULAI.           Si       ax m/n=y;           Erit  an m+n x(m+n)/n=Areae   ABD.

Mas tarde en el mismo tratado da un procedimiento para hallar la ordenada de una curva cuadratura ABD esta dada. El proceso es interesante ya que de alguna forma el comienzo del calculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la diferenciacion y la integracion. La explica como un ejemplo, aunque es claramente generalizable.

• Descubrimiento de las series de sin x y cos x

A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura

sustituyendo y después de simplificar queda

q = x+  1 6 x3+  3 40 x5+  5 112 x7+

Inviertiendo ahora la serie Newton obtiene

x=sinq = q-  1 6 q3+  1 120 q5-  1 5040 q7+

Encuentra luego la serie de cosq como

y calcula las cuadraturas de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuación x=y coty primero invirtiendo esta ecuación para encontrar la
serie de y=y(x) y luego integrando término a término.

• El metodo de fluxiones 

Newton da luego otra versión de su cálculo en "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum" que fue escrito en 1671 y publicado en 1736. Wallis, con permiso de Newton, incluyó el método de fluxiones en la páginas 390-396 de su Algebra.Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades que aparecen (variable) x es un "fluente" y su velocidad, designada por , esto es una x con un puntito encima, es una  "fluxión".

La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad de tiempo o, es o el momento del fluente. El problema fundamental es, dada una relación entre fluentes hallar la relación entre sus fluxiones y recíprocamente. Si y=f(x) en un pequeño intervalo o de tiempo x se incrementa a x+o, y se incrementa

Luego elimina los términos que contienen o,  ya que  "se le supone infinitamente pequeño", quedando

. y =3x2

y por tanto, la relación entre fluxiones es

. y =3x2

    De esta forma su afirmación inicial del párrafo anterior de que el área

y=  xn+1 n+1

proviene de la curva y=xⁿ es que el cociente de fluxiones

. y =xn

considerando luego que la fluxión de x es uno, es decir, que el incremento que considera en x por unidad de tiempo es uno.

 Aplica también su método al caso de tener dada una curva en la forma f(x,y)=0. Por ejemplo considera el caso de la cúbica

x3-ax2+axy-y3=0

Sustituye x por x+o e y por y+o, realiza el desarrollo, resta la relación x³-ax²+axy-y³=0, cancela los términos con o² y o³ por ser despreciables frente a o, y divide ahora por o para obtener

3x2 -2a x  +ay  +ax . y -3y2 . y =0

de donde obtiene la relación de fluxiones

. y =  3x2-2ax+ay 3y2-ax

 Newton es consciente de las dificultades de rigor que tienen estos conceptos y posteriormente refina su interpretación en "De Quadratura Curvarum" , escrito en 1676 y publicado en 1704. Aquí habla de  "últimas proporciones" ( "ultimate ratios" ). Dice: "Por última proporción de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, pero tal como van desvaneciendo."

Intuitivamente, esto viene a ser nuestro concepto de derivada interpretada como límite

f¢(x)= lim h®0  f(x+h)-f(x) h             Calculo De Newton del numero p

valor que aquí hemos calculado correcto hasta cuatro decimales (el error es 1.33 x10^-5). Newton de hecho usa 20 términos del binomio para llegar a calcular p con 16 decimales correctos.

 Luego dice  "I am ashamed to tell you how many figures I carried these calculations, having no other business at the time" (Me avergüenzo de decirle cuantas cifras he calculado, no teniendo nada más que hacer en aquél momento). A pesar de sus afirmaciones, este es un nuevo paso de gigante en elcálculo del número.

Evolución del Calculo Diferencial

INTRODUCCION SIGLO XVII

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin.

SIGLO XVIII

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

1. Encontrar la tangente a una curva en un punto. 
2. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. 
3. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido. 
4. Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. 

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad.

SIGLO XIX

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas.

SIGLO XX

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.