Resolución De Problemas De Máximos y Minimos

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

• ·         Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
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• ·         Hacer un dibujo cuando sea necesario.
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• ·         Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
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• ·         Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar).
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• ·         Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
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• ·         Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.

• ·         Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
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• ·         Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema.
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• ·         Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
  
• ·         En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes.

Criterios De La 2 Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0,  f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0,  f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de  f existe en un intervalo abierto que contiene a x

Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Criterios De La 1 Deriva

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,  f(c)).

2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,  f(c)).

3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Sentido de Concavidad

Se dice que una función y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en

El intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la ´

Función en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la

Función. ´

Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que ´

La función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

Valores Criticos

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Punto De Inflexion

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Maximos y Minimos

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

Dada una función vamos a definir intuitivamente sus máximos y sus mínimos.

Una función tiene un máximo relativo  en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Pasos de Reslucion ( Derivacion ),

·         Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

·  Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

·         Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

·         Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Funciones Logaritmicas Naturales y De Base

Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente. Ejemplos

de funciones exponenciales son

y = 2^x

y = 45^x

y = 82^x + 1

y = 10^x - 3

Antes de entrar de lleno en el estudio de las funciones logarítmicas conviene repasar el concepto de logaritmo, ya que es frecuente que los estudiantes lleguen a este momento sin recordar qué son los logaritmos o, en el caso más extremo, sin haberlos estudiado nunca durante su carrera estudiantil.

En Matemáticas toda operación o todo proceso tiene su inverso, su camino de retorno al punto inicial. Por ejemplo, si a 4 se le suma 3 se llega al 7; el retorno del 7 al 4 es restar 3. El retorno de la multiplicación es la división, etc.

Funciones Exponenciales

·         Deriva de la función exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

 

·         Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

 

·         Ejemplos

    

     

   

Funciones Trigonometricas

Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente,

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función  Seno ( Sen):
    
    La Función Seno nos describe la relación  existente entre Lado Opuesto sobre la
    
    Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2.  Función Coseno ( Cos):

     La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3.  Función Tangente ( Tan):

     Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

       También tenemos las  Funciones que son inversas a las anteriores:

       4.  Función  Cotangente ( Cot):
            
            Que describe la relación  entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

       5.  Función Secante (  Sec):
            
            Relación entre Hipotenusa sobre  Lado Adyacente:

       6.  Función  Cosecante ( CsC):

            Nos muestra la relación entre Hipotenusa  sobre  Lado Opuesto:    

Reglas De Las Derivas De Funciones Trascendentales

Empecemos con la función seno. Sabemos que: . Si componemos la función seno con alguna otra función cualquiera, a la que llamaremos g(x), tendremos . Para derivar , dado que es una función aplicada a otra función, recurriremos a la Regla de la Cadena: .
	Para la función exponencial podemos plantear que . Así, .
	Estas dos expresiones nos dan la forma general para las derivadas del seno de cualquier argumento y de la exponencial de cualquier argumento v, donde v es cualquier expresión algebraica o trascendental de variable x:
	Ahora aplica la Regla de la Cadena para las siguientes derivadas. Copia este reto en un archivo electrónico para que lo resuelvas. Una vez que lo termines te recomendamos guardarlo en tu portafolio personal para que lo puedas comparar en la siguiente pantalla y puedas seguir avanzando:

Reglas De Derivas De Funciones Algebraicas

Derivada de una constante es cero

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

       d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivarda del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx

Cuando y = x; se convierte en:

     d (xn) = nx n-1

     dx

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

Definicion de Derivadas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado